Kehrwert berechnen: Formel und Beispiele
Der Kehrwert einer Zahl ist die Zahl, mit der Sie sie multiplizieren müssen, um 1 zu erhalten. In der Mathematik heißt er auch multiplikatives Inverses oder reziproker Wert. Dieser Ratgeber zeigt, wie Sie den Kehrwert berechnen, für jede gängige Zahlenart von Brüchen bis zur modularen Arithmetik.
Die Formel für den Kehrwert
Kehrwert von a = 1 ÷ a, weil a × (1 ÷ a) = 1
Jede Zahl außer null hat genau einen Kehrwert.
Kehrwert berechnen für jede Zahlenart
Ganze Zahlen
Schreiben Sie die Zahl als Bruch über 1 und drehen Sie ihn um. Der Kehrwert von 5 ist 1/5, weil 5 × 1/5 = 1.
Brüche
Vertauschen Sie Zähler und Nenner. Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3, denn 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1. Deshalb teilt man durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Gemischte Zahlen
Wandeln Sie zuerst in einen unechten Bruch um und drehen Sie dann. 2 1/3 = 7/3, also ist der Kehrwert 3/7.
Dezimalzahlen
Teilen Sie 1 durch die Dezimalzahl oder wandeln Sie sie zuerst in einen Bruch um. 0,25 = 1/4, also ist der Kehrwert 4.
Negative Zahlen
Der Kehrwert behält das Vorzeichen. Der Kehrwert von −6 ist −1/6, denn (−6) × (−1/6) = 1.
Null
Null hat keinen Kehrwert, weil nichts mal null 1 ergibt.
Beispiele zum Kehrwert
| Zahl | Kehrwert | Probe |
|---|---|---|
| 5 | 1/5 | 5 × 1/5 = 1 |
| 3/4 | 4/3 | 3/4 × 4/3 = 1 |
| 2 1/3 | 3/7 | 7/3 × 3/7 = 1 |
| 0,25 | 4 | 1=0,25 × 4 = 1 = 1 |
| −6 | −1/6 | −6 × −1/6 = 1 |
Kehrwert einer komplexen Zahl
Erweitern Sie mit der konjugiert komplexen Zahl:
1 ÷ (a + bi) = (a − bi) ÷ (a² + b²)
Für 3 + 4i ist der Kehrwert (3 − 4i) ÷ 25 = 0,12 − 0,16i.
Das modulare Inverse berechnen
In der modularen Arithmetik ist das Inverse von a modulo m die Zahl x, bei der a × x beim Teilen durch m den Rest 1 lässt. Es existiert nur, wenn a und m teilerfremd sind.
Kleine Zahlen: Werte ausprobieren
Für 3 mod 11 probieren Sie x = 1, 2, 3 und so weiter: 3 × 4 = 12 = 11 + 1, also ist das Inverse 4.
Größere Zahlen: der erweiterte euklidische Algorithmus
Für 7 mod 26 führen Sie den euklidischen Algorithmus aus und rechnen rückwärts: 26 = 3 × 7 + 5, 7 = 1 × 5 + 2, 5 = 2 × 2 + 1. Das Rückwärtseinsetzen ergibt 1 = 3 × 26 − 11 × 7, also lässt 7 × (−11) den Rest 1. Plus 26 macht es positiv: Das Inverse ist 15, und 7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1. Genau dieser Schritt steckt in Verschlüsselungsverfahren wie RSA.
Der Kehrwert Rechner liefert den Kehrwert jeder Zahl oder jedes Bruchs und das modulare Inverse, wenn Sie einen Modul eingeben.
Häufige Fehler
- Kehrwert und Gegenzahl verwechseln. Die Gegenzahl von 5 ist −5, der Kehrwert ist 1/5.
- Eine gemischte Zahl direkt umdrehen. Wandeln Sie zuerst in einen unechten Bruch um.
- Das Vorzeichen ändern. Der Kehrwert einer negativen Zahl ist ebenfalls negativ.
Kehrwerte tauchen auch bei Logarithmen auf: loga b und logb a sind Kehrwerte voneinander. Mehr dazu unter Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen.
Für das Rechnen mit Koordinaten lesen Sie Abstand zweier Punkte berechnen.
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