Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen
Vor dem Taschenrechner bestimmten Ingenieure Logarithmen mit ein paar auswendig gelernten Werten, einfachen Regeln und Logarithmentafeln. Dieselben Tricks funktionieren noch heute und nehmen dem Logarithmus viel von seinem Schrecken. Dieser Ratgeber zeigt, wie Sie einen Logarithmus ohne Taschenrechner auf drei bis vier Nachkommastellen genau berechnen.
Was ein Logarithmus ist
lg x, der Zehnerlogarithmus, beantwortet die Frage: „10 hoch wie viel ergibt x?“ Also ist lg 1000 = 3, weil 10³ = 1000. Der natürliche Logarithmus ln nutzt statt 10 die Basis e ≈ 2,71828.
Werte, die sich das Merken lohnt
| x | log10 x |
|---|---|
| 2 | 0,3010 |
| 3 | 0,4771 |
| 7 | 0,8451 |
| 10 | 1 |
Mit diesen vier Werten liefern die Logarithmengesetze unten fast jede Zahl.
Die Logarithmengesetze
- Produkt: lg(a · b) = lg a + lg b
- Quotient: lg(a ÷ b) = lg a − lg b
- Potenz: lg(an) = n · lg a
Logarithmus ohne Taschenrechner: Rechenbeispiele
lg 6
6 = 2 · 3, also lg 6 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781. Der wahre Wert ist 0,7782; die letzte Stelle weicht nur wegen der Rundung ab.
lg 5
5 = 10 ÷ 2, also lg 5 = 1 − 0,3010 = 0,6990.
lg 72
72 = 8 · 9 = 2³ · 3², also lg 72 = 3 · 0,3010 + 2 · 0,4771 = 0,9030 + 0,9542 = 1,8572. Der wahre Wert ist 1,8573, vier gemerkte Werte bringen Sie also schon auf ein Zehntausendstel genau.
Kennzahl und Mantisse
Große oder kleine Zahlen schreiben Sie in wissenschaftlicher Schreibweise. Die Zehnerpotenz ist die Kennzahl, der Logarithmus des Rests die Mantisse, genau so waren die alten Logarithmentafeln aufgebaut:
lg 4500 = lg(4,5 · 10³) = lg 4,5 + 3
4,5 = 9 ÷ 2, also lg 4,5 = 0,9542 − 0,3010 = 0,6532 und lg 4500 = 3,6532.
Natürlicher Logarithmus ohne Taschenrechner
Rechnen Sie mit einer Multiplikation aus dem Zehnerlogarithmus um:
ln x = 2,3026 · lg x
ln 2 = 2,3026 · 0,3010 = 0,6931. Für Zahlen nahe 1 eignet sich die Reihe ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + x³/3: ln 1,1 ≈ 0,1 − 0,005 + 0,00033 = 0,09533, der wahre Wert ist 0,09531.
Basiswechsel
Einen Logarithmus zu jeder Basis erhalten Sie, indem Sie zwei Zehnerlogarithmen teilen:
logb x = lg x ÷ lg b
log2 10 = 1 ÷ 0,3010 = 3,3219. Beachten Sie, dass log2 10 und lg 2 Kehrwerte voneinander sind. Der Zweierlogarithmus heißt auch lb oder ld.
Um Ihre Ergebnisse von Hand zu prüfen, liefert der Logarithmus Rechner den Logarithmus zu jeder Basis sowie den natürlichen und den Zehnerlogarithmus.
Häufige Fehler
- lg(a + b) ist nicht lg a + lg b. Das Produktgesetz gilt nur für Multiplikation.
- Die Kennzahl weglassen. lg 4500 ist 3,6532, nicht 0,6532.
- Logarithmen von null oder negativen Zahlen. Sie sind für reelle Zahlen nicht definiert.
Kehrwerte wie beim Basiswechsel erklärt der Ratgeber Kehrwert berechnen.
Eine weitere Formel, die Sie von Hand lösen können, finden Sie unter Abstand zweier Punkte berechnen.
Wenn Tempo wichtiger ist als Übung, liefert ein Online-Rechner dieselben Logarithmen mit mehr Nachkommastellen.