Calculer un logarithme sans calculatrice
Avant la calculatrice, les ingénieurs trouvaient les logarithmes avec quelques valeurs apprises par cœur, des règles simples et des tables de logarithmes. Les mêmes astuces fonctionnent encore et ôtent au logarithme une bonne part de son mystère. Ce guide montre comment calculer un logarithme sans calculatrice avec trois à quatre décimales exactes.
Ce qu’est un logarithme
log x, le logarithme décimal, répond à la question : « 10 à quelle puissance donne x ? » Ainsi log 1000 = 3, car 10³ = 1000. Le logarithme népérien ln utilise la base e ≈ 2,71828 au lieu de 10.
Valeurs à retenir
| x | log10 x |
|---|---|
| 2 | 0,3010 |
| 3 | 0,4771 |
| 7 | 0,8451 |
| 10 | 1 |
Avec ces quatre valeurs, les propriétés des logarithmes ci-dessous donnent presque tous les nombres.
Les propriétés des logarithmes
- Produit : log(a · b) = log a + log b
- Quotient : log(a ÷ b) = log a − log b
- Puissance : log(an) = n · log a
Logarithme sans calculatrice : exemples
log 6
6 = 2 · 3, donc log 6 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781. La vraie valeur est 0,7782 ; le dernier chiffre ne diffère qu’à cause de l’arrondi.
log 5
5 = 10 ÷ 2, donc log 5 = 1 − 0,3010 = 0,6990.
log 72
72 = 8 · 9 = 2³ · 3², donc log 72 = 3 · 0,3010 + 2 · 0,4771 = 0,9030 + 0,9542 = 1,8572. La vraie valeur est 1,8573, quatre valeurs mémorisées vous amènent donc déjà au dix-millième près.
Caractéristique et mantisse
Écrivez les grands ou petits nombres en notation scientifique. La puissance de dix est la caractéristique, le logarithme du reste la mantisse, exactement comme dans les anciennes tables de logarithmes :
log 4500 = log(4,5 · 10³) = log 4,5 + 3
4,5 = 9 ÷ 2, donc log 4,5 = 0,9542 − 0,3010 = 0,6532 et log 4500 = 3,6532.
Logarithme népérien sans calculatrice
Convertissez depuis le logarithme décimal par une multiplication :
ln x = 2,3026 · log x
ln 2 = 2,3026 · 0,3010 = 0,6931. Pour les nombres proches de 1, la série ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + x³/3 convient : ln 1,1 ≈ 0,1 − 0,005 + 0,00033 = 0,09533, la vraie valeur est 0,09531.
Changement de base
Le logarithme dans une base quelconque s’obtient en divisant deux logarithmes décimaux :
logb x = log x ÷ log b
log2 10 = 1 ÷ 0,3010 = 3,3219. Notez que log2 10 et log 2 sont inverses l’un de l’autre. Le logarithme en base 2 s’appelle aussi logarithme binaire.
Pour vérifier vos résultats faits à la main, le calcul de logarithme donne le logarithme dans toute base ainsi que le logarithme népérien et décimal.
Erreurs fréquentes
- log(a + b) n’est pas log a + log b. La propriété du produit ne vaut que pour la multiplication.
- Oublier la caractéristique. log 4500 vaut 3,6532, pas 0,6532.
- Logarithmes de zéro ou de nombres négatifs. Ils ne sont pas définis dans les réels.
Les inverses, comme dans le changement de base, sont expliqués dans le guide calculer l’inverse d’un nombre.
Une autre formule à résoudre à la main se trouve dans calculer la distance entre deux points.
Si la vitesse compte plus que l’entraînement, un calculateur en ligne donne les mêmes logarithmes avec plus de décimales.