Distance entre deux points : formule et calcul
La formule de la distance entre deux points mesure la distance en ligne droite entre deux points d’un repère. C’est le théorème de Pythagore écrit en coordonnées, et on la rencontre du devoir de géométrie aux cartes et aux jeux vidéo. Ce guide montre pas à pas comment calculer la distance.
La formule de la distance entre deux points
Pour deux points A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2) dans un repère orthonormé :
AB = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
Déterminez l’écart horizontal et l’écart vertical, élevez-les au carré, additionnez-les et prenez la racine. En calcul vectoriel, c’est la norme du vecteur AB.
Pourquoi la formule fonctionne
Tracez une ligne horizontale depuis un point et une verticale depuis l’autre, elles se coupent à angle droit. Les deux écarts sont les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, la distance cherchée est l’hypoténuse, et a² + b² = c² donne directement la formule.
Le calcul théorème de Pythagore résout le même triangle rectangle quand vous connaissez deux côtés.
Calculer la distance entre deux points
- Retranchez les abscisses : Δx = x2 − x1.
- Retranchez les ordonnées : Δy = y2 − y1.
- Élevez les deux écarts au carré et additionnez-les.
- Prenez la racine carrée.
Exemple de calcul 1
On cherche la distance entre (1 ; 2) et (4 ; 6). Δx = 3 et Δy = 4, donc d = √(9 + 16) = √25 = 5.
Exemple de calcul 2 : coordonnées négatives
On cherche la distance entre (−3 ; 4) et (2 ; −8). Δx = 2 − (−3) = 5 et Δy = −8 − 4 = −12. Le carré supprime le signe : d = √(25 + 144) = √169 = 13.
Le calcul de distance entre deux points détermine distance et milieu pour deux points quelconques, dans le plan ou dans l’espace.
Distance dans l’espace (3D)
Ajoutez un troisième terme pour les cotes z :
d = √(Δx² + Δy² + Δz²)
De (1 ; 2 ; 3) à (4 ; 6 ; 15) : Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12, donc d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
La formule du milieu
Les exercices de géométrie analytique demandent souvent aussi le milieu du segment. Faites la moyenne des coordonnées : I = ((x1 + x2) ÷ 2 ; (y1 + y2) ÷ 2). Le milieu de (1 ; 2) et (4 ; 6) est (2,5 ; 4).
Exemples de distance entre deux points
| Point 1 | Point 2 | Δx, Δy | Distance |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3, 4 | 5 |
| (1, 2) | (4, 6) | 3, 4 | 5 |
| (−3, 4) | (2, −8) | 5, −12 | 13 |
| (2, 1) | (5, 5) | 3, 4 | 5 |
Erreurs fréquentes
- Oublier la racine. Δx² + Δy² est le carré de la distance.
- Erreurs de signe avec des nombres négatifs. Moins par moins donne plus : 2 − (−3) = 5.
- Additionner simplement les écarts. 3 + 4 = 7 est le chemin le long du quadrillage, pas la ligne droite.
Les exercices de distance mènent souvent aux cercles, où la distance au centre est le rayon ; le guide calculer le diamètre à partir de la circonférence va dans ce sens.
D’autres méthodes de calcul sans outil figurent dans le guide calculer un logarithme sans calculatrice.
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