Calculer l’inverse d’un nombre : formule et exemples
L’inverse d’un nombre est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1. En mathématiques, on parle aussi d’inverse multiplicatif. Ce guide montre comment calculer l’inverse d’un nombre pour chaque type de nombre courant, des fractions à l’arithmétique modulaire.
La formule de l’inverse
Inverse de a = 1 ÷ a, car a × (1 ÷ a) = 1
Tout nombre sauf zéro a exactement un inverse.
Calculer l’inverse d’un nombre selon son type
Nombres entiers
Écrivez le nombre comme une fraction sur 1 et retournez-la. L’inverse de 5 est 1/5, car 5 × 1/5 = 1.
Fractions
Échangez numérateur et dénominateur. L’inverse de 3/4 est 4/3, car 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1. C’est pourquoi diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Nombres mixtes
Convertissez d’abord en fraction impropre puis retournez. 2 1/3 = 7/3, l’inverse est donc 3/7.
Nombres décimaux
Divisez 1 par le décimal ou convertissez-le d’abord en fraction. 0,25 = 1/4, l’inverse est donc 4.
Nombres négatifs
L’inverse garde le signe. L’inverse de −6 est −1/6, car (−6) × (−1/6) = 1.
Zéro
Zéro n’a pas d’inverse, car rien multiplié par zéro ne donne 1.
Exemples d’inverse d’un nombre
| Nombre | Inverse | Vérification |
|---|---|---|
| 5 | 1/5 | 5 × 1/5 = 1 |
| 3/4 | 4/3 | 3/4 × 4/3 = 1 |
| 2 1/3 | 3/7 | 7/3 × 3/7 = 1 |
| 0,25 | 4 | 1=0,25 × 4 = 1 = 1 |
| −6 | −1/6 | −6 × −1/6 = 1 |
Inverse d’un nombre complexe
Multipliez par le conjugué :
1 ÷ (a + bi) = (a − bi) ÷ (a² + b²)
Pour 3 + 4i, l’inverse vaut (3 − 4i) ÷ 25 = 0,12 − 0,16i.
Calculer l’inverse modulaire
En arithmétique modulaire, l’inverse de a modulo m est le nombre x tel que a × x laisse un reste de 1 dans la division par m. Il n’existe que si a et m sont premiers entre eux.
Petits nombres : essayer des valeurs
Pour 3 mod 11, essayez x = 1, 2, 3 et ainsi de suite : 3 × 4 = 12 = 11 + 1, l’inverse est donc 4.
Grands nombres : l’algorithme d’Euclide étendu
Pour 7 mod 26, appliquez l’algorithme d’Euclide puis remontez : 26 = 3 × 7 + 5, 7 = 1 × 5 + 2, 5 = 2 × 2 + 1. En remontant, on obtient 1 = 3 × 26 − 11 × 7, donc 7 × (−11) laisse le reste 1. En ajoutant 26, on le rend positif : l’inverse est 15, et 7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1. C’est exactement cette étape qu’utilisent des méthodes de chiffrement comme RSA.
Le calcul de l’inverse d’un nombre donne l’inverse de tout nombre ou de toute fraction et l’inverse modulaire si vous saisissez un modulo.
Erreurs fréquentes
- Confondre inverse et opposé. L’opposé de 5 est −5, l’inverse est 1/5.
- Retourner directement un nombre mixte. Convertissez d’abord en fraction impropre.
- Changer le signe. L’inverse d’un nombre négatif est aussi négatif.
Les inverses apparaissent aussi avec les logarithmes : loga b et logb a sont inverses l’un de l’autre. Plus de détails dans calculer un logarithme sans calculatrice.
Pour les calculs avec des coordonnées, lisez calculer la distance entre deux points.
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