Abstand zweier Punkte: Formel und Berechnung
Die Abstand zweier Punkte Formel misst die gerade Entfernung zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem. Sie ist der Satz des Pythagoras in Koordinaten geschrieben und begegnet Ihnen von der Geometrie-Hausaufgabe bis zu Landkarten und Computerspielen. Dieser Ratgeber zeigt Schritt für Schritt, wie Sie den Abstand berechnen.
Die Abstand zweier Punkte Formel
Für zwei Punkte P(x1 | y1) und Q(x2 | y2) gilt:
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
Bestimmen Sie den waagerechten und den senkrechten Abstand, quadrieren Sie beide, addieren Sie sie und ziehen Sie die Wurzel. In der Vektorrechnung ist das die Länge des Verbindungsvektors von P nach Q.
Warum die Formel funktioniert
Ziehen Sie von einem Punkt eine waagerechte und vom anderen eine senkrechte Linie, treffen sich beide im rechten Winkel. Die beiden Abstände sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die gesuchte Entfernung ist die Hypotenuse, und a² + b² = c² liefert die Formel direkt.
Der Satz des Pythagoras Rechner löst dasselbe rechtwinklige Dreieck, wenn Sie zwei Seiten kennen.
Den Abstand zweier Punkte berechnen
- Ziehen Sie die x-Koordinaten voneinander ab: Δx = x2 − x1.
- Ziehen Sie die y-Koordinaten voneinander ab: Δy = y2 − y1.
- Quadrieren Sie beide Differenzen und addieren Sie sie.
- Ziehen Sie die Wurzel.
Rechenbeispiel 1
Gesucht ist der Abstand zwischen (1 | 2) und (4 | 6). Δx = 3 und Δy = 4, also d = √(9 + 16) = √25 = 5.
Rechenbeispiel 2: negative Koordinaten
Gesucht ist der Abstand zwischen (−3 | 4) und (2 | −8). Δx = 2 − (−3) = 5 und Δy = −8 − 4 = −12. Das Quadrieren entfernt das Vorzeichen: d = √(25 + 144) = √169 = 13.
Der Abstand zweier Punkte Rechner ermittelt Abstand und Mittelpunkt für zwei beliebige Punkte, in der Ebene oder im Raum.
Abstand im Raum (3D)
Ergänzen Sie einen dritten Term für die z-Koordinaten:
d = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Von (1 | 2 | 3) nach (4 | 6 | 15): Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12, also d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
Die Formel für den Mittelpunkt
Aufgaben zur analytischen Geometrie fragen oft auch nach dem Mittelpunkt der Strecke. Mitteln Sie die Koordinaten: M = ((x1 + x2) ÷ 2 | (y1 + y2) ÷ 2). Der Mittelpunkt von (1 | 2) und (4 | 6) ist (2,5 | 4).
Beispiele zum Abstand zweier Punkte
| Punkt 1 | Punkt 2 | Δx, Δy | Abstand |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3, 4 | 5 |
| (1, 2) | (4, 6) | 3, 4 | 5 |
| (−3, 4) | (2, −8) | 5, −12 | 13 |
| (2, 1) | (5, 5) | 3, 4 | 5 |
Häufige Fehler
- Die Wurzel vergessen. Δx² + Δy² ist das Quadrat des Abstands.
- Vorzeichenfehler bei negativen Zahlen. Minus mal minus ergibt plus: 2 − (−3) = 5.
- Die Abstände einfach addieren. 3 + 4 = 7 ist der Weg entlang der Kästchen, nicht die gerade Linie.
Aufgaben zum Abstand führen oft zu Kreisen, bei denen der Abstand vom Mittelpunkt der Radius ist; dazu passt der Ratgeber Durchmesser aus dem Umfang berechnen.
Weitere Rechenwege ohne Hilfsmittel finden Sie im Ratgeber Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen.
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