Gewichtetes Mittel in der Forschung: Anwendung und Deutung
Forschungsdaten behandeln selten jeden Wert gleich. Eine Umfrage muss manche Antworten stärker zählen als andere, ein Likert-Item sammelt Häufigkeiten für jede Antwort, und eine Metaanalyse vertraut präzisen Studien mehr als ungenauen. Ein gewichtetes Mittel deckt alle drei Fälle ab. Dieser Ratgeber zeigt, wie Sie es in der Forschung anwenden und das Ergebnis deuten.
Die Formel für das gewichtete Mittel
x̄w = Σ(wi × xi) ÷ Σwi
xi ist jeder Wert und wi sein Gewicht. Multiplizieren Sie jeden Wert mit seinem Gewicht, addieren Sie die Produkte und teilen Sie durch die Summe der Gewichte. Sind alle Gewichte gleich, wird daraus das gewöhnliche arithmetische Mittel. Der Durchschnitt Rechner liefert für eine Werteliste das einfache und das gewichtete Mittel.
Gewichtetes Mittel für Likert-Daten
Bei einem Likert-Item sind die Werte die Skalenpunkte und die Gewichte die Zahl der Befragten, die jeden Punkt gewählt haben.
Beispiel
100 Befragte bewerten die Aussage „Die Schulung war nützlich“ auf einer Fünf-Punkte-Skala:
| Antwort | Skalenwert (x) | Befragte (w) | w × x |
|---|---|---|---|
| Stimme voll zu | 5 | 40 | 200 |
| Stimme eher zu | 4 | 30 | 120 |
| Teils, teils | 3 | 15 | 45 |
| Stimme eher nicht zu | 2 | 10 | 20 |
| Stimme gar nicht zu | 1 | 5 | 5 |
| Summe | 100 | 390 |
Gewichtetes Mittel = 390 ÷ 100 = 3,90
Das gewichtete Mittel deuten
Viele Abschlussarbeiten teilen den Bereich von 1 bis 5 in fünf gleiche Abschnitte von 0,80, weil (5 − 1) ÷ 5 = 0,80:
| Gewichtetes Mittel | Deutung |
|---|---|
| 4,21 bis 5,00 | Stimme voll zu |
| 3,41 bis 4,20 | Stimme eher zu |
| 2,61 bis 3,40 | Teils, teils |
| 1,81 bis 2,60 | Stimme eher nicht zu |
| 1,00 bis 1,80 | Stimme gar nicht zu |
Ein gewichtetes Mittel von 3,90 fällt in den Bereich „stimme eher zu“. Berichten Sie Standardabweichung oder die vollständige Verteilung daneben, weil ein Mittel von 3,0 entstehen kann, wenn alle die Mitte wählen oder wenn sich die Antworten auf beide Extreme verteilen.
Gewichtung von Umfragen
Ist eine Gruppe in der Stichprobe überrepräsentiert, ziehen Gewichte die Schätzung zur Grundgesamtheit zurück.
Beispiel
Eine Stichprobe hat 60 Frauen und 40 Männer, die Grundgesamtheit ist je zur Hälfte aufgeteilt. Jede Frau erhält das Gewicht 50 ÷ 60 = 0,833, jeder Mann 50 ÷ 40 = 1,25. Frauen bewerten die Zufriedenheit im Mittel mit 7,0, Männer mit 6,0.
- Ungewichtetes Mittel: (60 × 7,0 + 40 × 6,0) ÷ 100 = 6,6
- Gewichtetes Mittel: (50 × 7,0 + 50 × 6,0) ÷ 100 = 6,5
Der gewichtete Wert ist die bessere Schätzung für die ganze Grundgesamtheit.
Effektive Stichprobengröße
Ungleiche Gewichte senken die Genauigkeit. Die effektive Stichprobengröße nach Kish misst, wie stark:
neff = (Σw)² ÷ Σw²
Vier Befragte mit den Gewichten 1, 1, 2 und 4 ergeben 8² ÷ (1 + 1 + 4 + 16) = 64 ÷ 22 = 2,9, sie tragen also etwa so viel Information wie drei gleich gewichtete Personen.
Inverse Varianzgewichte in der Metaanalyse
Eine Metaanalyse mit festem Effekt gewichtet jede Studie mit dem Kehrwert ihrer Varianz, w = 1 ÷ SE², sodass präzise Studien stärker zählen.
| Studie | Effekt | SE | Gewicht 1/SE² | w × Effekt |
|---|---|---|---|---|
| A | 0,50 | 0,10 | 100 | 50,0 |
| B | 0,30 | 0,20 | 25 | 7,5 |
| C | 0,40 | 0,05 | 400 | 160,0 |
| Summe | 525 | 217,5 |
Der gepoolte Effekt beträgt 217,5 ÷ 525 = 0,414 mit einem Standardfehler von 1 ÷ √525 = 0,044. Das einfache Mittel der drei Effekte wäre 0,40; Studie C, die präziseste, zieht den gepoolten Wert zu ihrem eigenen Ergebnis.
So berichten Sie ein gewichtetes Mittel
- Nennen Sie, was die Gewichte sind und woher sie stammen.
- Geben Sie gewichtetes Mittel, Streuung und Fallzahl an.
- Zeigen Sie auch das ungewichtete Mittel, wenn der Abstand zählt.
- Nennen Sie bei Likert-Daten die verwendeten Deutungsbereiche.
Alltägliche Fälle wie Noten, Preise und Prognosen finden Sie in den Beispielen zum gewichteten Durchschnitt.
Wie Sie dieselbe Rechnung mit eigenen Daten in einer Tabelle durchführen, zeigen die Schritte für einen gewichteten Durchschnitt in Google Sheets.
Häufige Fehler
- Durch die Zahl der Werte teilen. Teilen Sie durch die Summe der Gewichte.
- Prozentwerte aus unterschiedlich großen Gruppen mitteln. Gewichten Sie jede Gruppe mit ihrer Größe.
- Das Likert-Mittel als exakt behandeln. Die Skala ist ordinal, kombinieren Sie das Mittel mit der Verteilung.
Kurzübersicht
Gewichtetes Mittel = Σ(w × x) ÷ Σw. Prüfen Sie Ihre Forschungszahlen mit einem kostenlosen Online-Rechner von CalculateGuide.