Dimension de l’accélération de la pesanteur g

L’accélération de la pesanteur g est une accélération comme une autre, la dimension de l’accélération de la pesanteur découle donc seulement de la longueur et du temps. Ce guide établit l’équation aux dimensions, la compare à celle de la constante gravitationnelle G et montre comment l’utiliser pour vérifier des équations physiques.

La dimension de l’accélération de la pesanteur

[g] = [M⁰ L¹ T⁻²]

La masse n’apparaît pas, la longueur est à la puissance un et le temps à la puissance moins deux. L’unité SI correspondante est le mètre par seconde au carré, m/s². On écrit aussi dim g = L · T⁻².

Démonstration à partir de la définition de l’accélération

L’accélération est la variation de vitesse divisée par le temps nécessaire :

a = Δv ÷ Δt

La vitesse est une distance divisée par un temps, donc [v] = [L T⁻¹].
On divise par le temps : [a] = [L T⁻¹] ÷ [T] = [L T⁻²].
Aucune masse n’apparaît, on écrit donc M⁰ : [M⁰ L¹ T⁻²].

Comme g est l’accélération d’un corps en chute libre près de la Terre, elle a exactement la même dimension que toute autre accélération. Le calcul d’accélération travaille avec les mêmes unités en m/s².

Démonstration à partir de la loi de la gravitation

À la surface d’une planète de masse M et de rayon R :

g = G × M ÷ R²

G a la dimension [M⁻¹ L³ T⁻²]. Multipliée par la masse [M] et divisée par une longueur au carré [L²], on obtient [M⁻¹ L³ T⁻²] × [M] ÷ [L²] = [L T⁻²]. Les deux chemins concordent, bon signe que la dimension est juste.

Accélération de la pesanteur g et constante gravitationnelle G

Grandeur	Symbole	Dimension	Unité SI	Valeur
Accélération de la pesanteur	g	[M⁰ L¹ T⁻²]	m/s²	9,80665 (valeur normale)
Constante gravitationnelle	G	[M⁻¹ L³ T⁻²]	N·m²/kg²	6 674 × 10⁻¹¹
Poids (force)	W = mg	[M¹ L¹ T⁻²]	N	Dépend de la masse

g varie d’un lieu à l’autre, d’environ 9,78 m/s² à l’équateur à environ 9,83 m/s² aux pôles ; en France, elle vaut environ 9,81 m/s². G est une constante universelle. Le calcul de force gravitationnelle utilise G pour trouver l’attraction entre deux masses quelconques.

Vérifier des équations avec la dimension de l’accélération de la pesanteur

L’analyse dimensionnelle démasque les formules fausses avant même de remplacer des nombres. Les deux membres d’une équation doivent avoir la même dimension.

Hauteur de chute : h = ½ g t²

[L T⁻²] × [T²] = [L]. Le membre de droite est une longueur, comme h.

Vitesse d’impact : v = √(2 g h)

√([L T⁻²] × [L]) = √[L² T⁻²] = [L T⁻¹], une vitesse. Le calcul de chute libre applique les deux équations.

Période du pendule : T = 2π √(L ÷ g)

√([L] ÷ [L T⁻²]) = √[T²] = [T], un temps. Le 2π est un nombre pur sans dimension.

g dans d’autres systèmes d’unités

SI : 9,80665 m/s²
CGS : 980,665 cm/s²
Unités US : environ 32,174 ft/s²

Les nombres changent avec les unités, la dimension reste [M⁰ L¹ T⁻²] dans tout système.

Erreurs fréquentes

Confondre g et G. g est une accélération, G une constante dont la dimension contient la masse.
Ajouter un terme de masse. L’accélération de la pesanteur ne dépend pas de la masse du corps qui tombe.
Écrire T⁻¹. Ce serait une fréquence ; une accélération demande T⁻².

La même méthode donne d’autres équations aux dimensions ; le guide sur la formule du couple montre pourquoi le couple a la même dimension que l’énergie.

Résumé

[g] = [M⁰ L¹ T⁻²], unité SI m/s², valeur normale 9,80665 m/s². Résolvez vos exercices sur la pesanteur avec les calculateurs de physique gratuits de CalculateGuide.