Cómo calcular logaritmos sin calculadora
Antes de las calculadoras, los ingenieros obtenían logaritmos con unos cuantos valores memorizados y algunas reglas sencillas. Los mismos trucos siguen funcionando y hacen que los logaritmos sean mucho menos misteriosos. Esta guía muestra cómo calcular logaritmos sin calculadora con una precisión de tres o cuatro decimales.
Qué es un logaritmo
log10(x) responde: “¿a qué potencia hay que elevar 10 para obtener x?” Así, log 1,000 = 3, porque 10³ = 1,000. El logaritmo natural, ln, usa la base e ≈ 2.71828 en lugar de 10.
Valores que vale la pena memorizar
| x | log10 x |
|---|---|
| 2 | 0.3010 |
| 3 | 0.4771 |
| 7 | 0.8451 |
| 10 | 1 |
Con estos cuatro, las leyes de los logaritmos de abajo te dan casi cualquier número.
Las leyes de los logaritmos
- Producto: log(ab) = log a + log b
- Cociente: log(a ÷ b) = log a − log b
- Potencia: log(an) = n × log a
Cómo calcular logaritmos sin calculadora: ejemplos resueltos
log 6
6 = 2 × 3, así que log 6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781. El valor real es 0.7782; el último dígito difiere solo por redondeo.
log 5
5 = 10 ÷ 2, así que log 5 = 1 − 0.3010 = 0.6990.
log 72
72 = 8 × 9 = 2³ × 3², así que log 72 = 3(0.3010) + 2(0.4771) = 0.9030 + 0.9542 = 1.8572. El valor real es 1.8573, así que cuatro valores memorizados ya te dejan a una diezmilésima.
Característica y mantisa
Para números grandes o pequeños, escríbelos en notación científica. La potencia de diez es la característica, y el logaritmo del resto es la mantisa:
log 4,500 = log(4.5 × 10³) = log 4.5 + 3
4.5 = 9 ÷ 2, así que log 4.5 = 0.9542 − 0.3010 = 0.6532, y log 4,500 = 3.6532.
Logaritmo natural sin calculadora
Convierte desde base 10 con una sola multiplicación:
ln x = 2.3026 × log10 x
ln 2 = 2.3026 × 0.3010 = 0.6931. Para números cercanos a 1, la serie ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + x³/3 funciona bien: ln 1.1 ≈ 0.1 − 0.005 + 0.00033 = 0.09533, frente a un valor real de 0.09531.
Cambio de base
Para obtener un logaritmo en cualquier base, divide dos logaritmos de base 10:
logb x = log x ÷ log b
log2 10 = 1 ÷ 0.3010 = 3.3219. Observa que log2 10 y log10 2 son recíprocos entre sí.
Para revisar tus respuestas hechas a mano, la calculadora de logaritmos da el logaritmo en cualquier base junto con el natural y el común.
Errores comunes
- log(a + b) no es log a + log b. La ley del producto solo funciona con la multiplicación.
- Perder la característica. log 4,500 es 3.6532, no 0.6532.
- Logaritmos de cero o de negativos. No están definidos para los números reales.
Los recíprocos como el par del cambio de base se explican en cómo encontrar el inverso multiplicativo.
Para otra fórmula que puedes resolver a mano, consulta cómo calcular la fórmula de distancia.
Cuando necesites rapidez más que práctica, una calculadora en línea da los mismos logaritmos con más decimales.